多元函数微分法及其应用
平面点集、空间点集
直线R中的点集：
；平面点集：
，
，点集示例：
；空间点集：
，
，点集示例：
，球面；注：平面空间中有四个象限，三维空间中则有八个象限；
邻域
R中的邻域：
；平面中的邻域：
； 平面中邻域的图形：
；空间中的邻域：
； 空间中邻域的图形：
； 
，V的内点属于V；
，使
,V的外点不属于V； 内点示例图：
，外点示例图：
；
; 
; 
; 
;注：
像这种外圆是闭集，内圆为开集的集合为开集；
，全体平面上的实数点构成的集合是一个既开又闭的集合，也是唯一个既开又闭的集合；
； 连通集的图示：
，
； 非连通集示例：
； 
；
； 
，
； 
二元函数、多元函数
；
；多元函数的定义域
多元函数的定义域：明确指定或约定；
定义域的约定：使函数表达式有意义的所有点的集合；
定义域示例：
，该二元函数没有指定定义域，按约定为根号里的表达工要大于或等于0；一元函数与二元函数的图形示例：(一元函数通常是平面上的一条曲线，二元函数通常是空间里的一个曲面)
；注：三元函数的图形需要在四维空间才能做画出来(超平面)；
多元函数求函数值时，自变量是有顺序的，不能颠倒，如f(2,3)和f(3,2)是两个不同的函数值；
多元函数的极限与连续性
； 注：点M为点集，如(x,y)、(x,y,z........n);
; 示例：
；该函数的图形为：
； 沿着不同的射线趋向于原点时，高度是不变的，但不同的射线，函数值不一样；
注：该函数中的点沿着这些直线趋向于原点时，函数值保持不变，但高度不一样；
示例2： 该函数中，同一个x和y值对应着多个函数值，当同一个x和y对应的函数值趋向于原点时，该函数的函数值(z值)均不相同，因些该函数的极限不存在(极限存在时，同一个x和y趋向于极限点的值应该相同)；
；求二元函数的极限时，可以将自变量分开，然后将其化为一元函数求解；
示例：
；二元函数的连续性
； 
； 
； 
；
；
； 
； 示例：
，注：
；
； 偏导数的定义与计算
多元函数中，关于某一个自变量的变化率就是函数对该自变量的偏导数；
；
； 注：多元函数的偏导数类似于二元函数；
偏导数实际上就是导数，求偏导数时，可以将要求的自变量以外的自变量看成是常数，再用求导法则求；
，
； 
； 
，注：该方法对多元函数求偏导数都适用
则
；示例：求
的偏导数
；
；
；
； 与一元函数不一样的地方：
；
；
；高阶偏导数
设有二元方程
，先对x求偏导数再对y求偏数，以及先对y求偏导数再对x求偏导数的结果为：
；
；
；
，
；
,则
；示例：求
的偏导数
；全微分
；
；
；
；注：偏导数存在是可微分的必要条件，但不是充分条件，即
，
；
；计算全微分的公式
；
; 
; 
;全微分在近似计算中的应用
；
；
；多元复合函数的求导法则
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方向导数与梯度
；
,
; 注：
，
，
，因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在；
其中l为该方向的单位向量，即
，如在三维空间坐标系中，x方向的单位向量为(1,0,0);另外，函数可微，则方向导数一定存在；
，其中点乘前面的梯度，点乘后面的向量l的单位化；注：用梯度 gradf 点乘 l 的单位向量就是得到方向导数，这是计算方向导数最简便的方法；
梯度点乘l的几何解释
；三元函数类似二元函数(n元函数也一样)
； 函数在某点上的方向导数可以理解为，沿着方向L水平的移动一个单位，则函数值增加方向导数个单位；
梯度
梯度是讨论函数变化最快的方向；
，
，
；
；梯度的几何解释(二元函数)：
；
；97-99