微分方程
微分方程的基本概念
含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程；微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶(注：这里微分方程是指不含偏导数的常微分方程)；
一般的微分方程的形式为：
；注：微分方程里必须有未知函数y的导数，否则不能称为微分方程；含有初始条件的一阶微分方程示例：
；微分方程的解：满足微分方程的函数；即将解的函数代入微分方程，使方程两端恒等；注：方程的解可能是局部的，因为
时，x的范围是一个某个区间；微分方程的通解：
，n阶微分方程的含有n个独立任意常数的解称为微分方程的通解，微分方程是通过积分来求解；注：二阶微分方程中，如果只含有一个未知常数C1，就不能称之为通解；微分方程的特解：
，
，没有任意常数的解称为微分方程的特解；微分方程
的几何意义：方向场；
是每一点对应于一个斜率：
，
；通解
的几何意义：积分曲线；微分方程的通解代表一族曲线，称为方程的积分曲线；
该积分曲线在横坐标相同的点处， 各积分曲线有平行的切线，积分曲线彼此"平行"，两两不相交；其中每一条曲线都是微分方程的一个特蟹，给点某一个定点(如该曲线中的原点)后，积分曲线就固定只有一条；微分方程的初值问题：
含有初始条件微分方程称之为微分方程的初值问题，如图示的二阶微分方程，初始条件应有两个；微分方程常常有隐式解(隐函数的解)，微分方程的一个解，不管是显函数，还是隐函数，都表示一条积分曲线；
可分离变量的微分方程
条件：如果一个微分方程能通过四则运算，将自变量x，因变量y分离到等式的两端，那么该方程就称之为可分离变量的微分方程；
可分离变量的微分方程的通常形式和解法：
注：可分离变量的微分方程的解通常是隐式解；※微分方程分离后，左端是求对y的不定积分，右端是求对x的不定积分；
可分离变量的微分方程应用------指数模型
应用场景：设某一物质(人口、细菌、放射性元素)的总量x是时间的函数：
；已知：该物质的增长(减少)速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻t=0时，
;
;
;增长模型和减少模型：
增长模型解出通解为：
；
；增长模型和减少模型的图像为：
齐次方程
n次齐次函数：对一个函数
，如果
，则称之为n次齐次函数；如
，将x，y替换成tx，ty后
，所以该函数是一个2次齐次函数；齐次微分方程：对于一个微分方程
，如果
，则称该微分方程为齐次微分方程；例如：
，改写在
，整理后得
，
或者
都叫齐次函数的标准形式；齐次微分方程
的解法：
，
，
，
，
，得到
，将u回代后得到通解
；一阶线性微分方程
一般形式和标准形式：
；当
，Q(X)=0时为齐次线性方程；
为对应的齐次线性方程；齐次线性方程的解法：移项得
，
，
，整理得
，
；原非齐次线性方程的解法：在已求出齐次性方程后，
，令原方程的通解为(常数变易)：
(注：该通解可由原方程按齐次方程的解得到)
，将y的导数代入原方程
，
，整理得
，
，对两端积分得：
，将u(x)代入原方程的通解后即可得到原方程的通解：
；总结：
的通解为：
；以上求一阶线性微分方程的通解的方法称为常数变易法；xy互换后的通解为：
；一阶线性微分方程解的结构：
注：前面第一部分即为齐次线性方程的通解，第二部分可以看成是C=0时的一个特解，C为0时，第一部分为0，只剩下第二部分；
一阶线性微分方程的通解等于其对应齐次线性方程的通解，与原方程的一个特解之和；类似于线性方程组的通解结构；
解法示例：
，化为线性方程的标准形式：
，代入通解公式：
注：函数y里已经有任意常数C了，因此，其它项再积分时不用再加任意常数C了；伯努利方程
在标准线性微分方程的右端乘以一个y^n就可以得到一个伯努利方程；
伯努利方程可以化为线性方程：
，
，通解为：
；全微分方程
如果微分方程
即
，
；
=0，
，
；
；通解：
，因该积分与路径无关，可沿折线积分，通解为：
，积分的图形为：
；示例：解微分方程
解：因
，且
，所以该微分方程为全微分方程；
；积分图形为：
；由此得到通解为：
；一阶微分方程总结
五类一阶微分方程及其解法：
1）
；2）
；3）
4）
；5）
；可降阶的高阶微分方程
n阶微分方程的一般形式：
，
，其中y的n阶导数是必须要有的；高阶微分方程一般要通过降阶，降为低阶后求解；1）
这种n阶方程可以通过n次积分求出通解：
，降为n-1阶方程后，再积分n-2次使其降到一阶后再通过一阶微分方程的解法求解；2）特殊的二阶微分方程------
(不显含y)
,
,
,
;3）特殊的二阶微分方程------
，
，所以
，原方程化为：
；悬链线方程的两种写法
；其中a为常数，与线的密度有关；高阶线性微分方程
二阶线性微分方程的形式：
，方程(5)叫做二阶线性微分方程。当方程右端
时，方程叫做齐次的；当
时，方程叫做非齐次的；二阶线性微分方程的另一种写法：
；n阶线性微分方程的写法：
；注：y和y的n阶导数都是一次幂；齐次线性方程的解的叠加原理：
二次齐次线性方程：
；函数组的线性相关与线性无关的定义：
，
，使得
；
※注：线性相关时，k1,k2,k3.....kn要对定义区间内的每个自变量x都成立；如
，该方程中k1=1,k2=-1,k3=-1时，不管x为定义域内的什么值，恒有1-(sinX^2+cosX^2)=1-1=0，因此f(x)=1、f(x)=cosX^2、f(x)=sinX^2三个函数是线性相关的；
，
；
：
；
；线性无关示例：
，
；将齐次线性方程的各项的导数写成矩阵形式，当该矩阵的行列式不为0时，k1,k2,k3只有零解，即
；总结：
，否则线性无关；
叠加原理：
常系数齐次线性微分方程
，
，
，
，该一元二次方程称为方程(2)的特征方程；
，
；1）
：
，它们线性无关，构成方程的基础解系，
；2）
：
，它们线性相关，不构成基础解系；还得求一个与这个解线性无关的另一个解；为了求得与
线性无关的另一个解y2:
,
,
,
,
;因u的一降导数和u的系数都为0(
),
,
,
,
,
，
;3）
：
，它们线性无关，但为复数解，需要改造成实数解(利用
)，
，
，
，
，
，
，
；注：i为复数的虚部；总结：
；求二阶常系数齐次线性方程的通解步骤：
1）写出齐次线性特征方程：
；2）求出特征方程的特征根：
；3）根据特征根的情况，写出方程的通解；
示例：
，
，
，r1和r2是不等的实根，因此
；以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程：
；特征方程为：
；特征根：n个，重根按重数计；
示例：
，
，
，其中r1和r1为k重实根，r3和r4为单实根；
；常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程求出一个特解，然后用上面的求齐次方程的方法求出齐次的解，就能写出非齐次的通解；
1）
------
因多项式与指数函数的乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此特解
中也必须有指数函数
；
，
，
，
；
，
，
，
；
，
(注：特征根是重根时
=-p/2),
,
,
;
,
,
,
,
,
;
;
;示例：
，
，
；
，(求解的方程右端没有
，因此
=0，m为方程右端的最高次幂)，
(特解为求解方程右端多项式的一般形式)，
，
，
，整理得
，
，由此得特解
，
；2）
------
2-1）
，
，
；2-2）
，
，
；欧拉方程
，欧拉方程是线性微分方程，但不是常系数的线性微分方程，欧拉方程的项中，x的指数等于y的导数阶，可以通过一个变换化为常系数的线性方程；欧位方程的解法：
，
，
，
，
，
；示例：
，
，
，
因式分解
，
，
，
