定积分的应用
定积分的元素法
在定积分的应用中，我们经常采用元素法(也称微元法)。微元法是用来化实际问题为定积分的一种简便方法，是物理学、力学、工程技术中建立积分模型时普遍采用的方法；
用元素法建立定积分模型的步骤如下：
1）所求的某量Q与定义在一个区间[a,b]上的连续函数f(x)有关；如：以速度v=v(t)作变速直线运动的物体在区间[T1,T2]上所经过的路程s与速度函数v(t)有关；
2）量Q具有区间可加性：
3）
，记作
；4）则所求的量Q的值可用定积分表示为：
原来的求和的写法：
；直角坐标情形
1）面积问题
1-1面积问题可以不用元素法，用定积分的几何意义即可；由定积分的几何意义得知：
所围成的曲边梯形的面积A等于：
1-2
,其中
1-3
所围成的图形的面积：
1-4
，由定积分的几何意义：
所围成的曲边梯形的面积：
卡瓦列里原理
极坐标
在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。
极坐标系的图形：
如果限定坐标夹角的范围是0到2π时，极坐标是唯一的；但如果没限定时，极坐标则不是唯一的，如同一个点可以表示为
，也可以表示为
；极坐标系下的平面图形的面积
有一些曲线或质点的运动轨迹适合用极坐标描述，一些曲线的极坐标方程示例：
阿基米德螺线，极坐标方程为：
；
四线玫瑰线，极坐标方程为：
；
心形线，极坐标方程为：
；心形线的面积为：
；极坐标下求扇形面积示例：
用元素法导出面积元素dA:
整理后得：
；曲边扇形的面积为：
，即：
；直角坐标与极坐标的关系
极坐标转换到直角坐标的关系为：
；直角坐标转换到极坐标的关系为：
；体积
1）切片法
；其中，A(x)为x到x+dx的这个圆柱体的体积；
2）旋转体的体积
；
切片法求体积：
，截面方程为：
；旋转体的体积为：
；其中，dx为单个切片的高度；
绕y轴旋转的旋转体：
，dy为单个切片的高度；垫圈法求中空的圆柱体体积：
体积为：
；
；弧长
定义：圆的周长可以看成圆内接正多边形的周长的极限计算(当边数无限增加时);用类似的方法可以定义一般曲线的弧长；
，其中
；
弧微分的几种形式：
；参数方程表示的弧微分公式：
，
；弧长公式：
1）L由显函数给出：
；
弧长的公式为：
；2）L由显函数给出：
；
弧长公式为：
；3）L由参数方程给出：
，
；
弧长公式为：
；4）L由极坐标给出：
，
；
，弧长公式为：
；注：极坐标的弧长公式是将极坐标转换成直角坐标得到的；
弧长的结果往往很复杂，很多弧长方程较复杂的情况下，可能积不出来；
如：椭圆的参数方程为：
；周长为：
，该积分是积不出来，原函数也不是初等函数；因此，椭圆的周长没有一个精确的表达式；只有近似公式：
；旋转曲面的面积
1）定义：
面积元素：
，
；其中，ds为取的一小段弧长的微分，dA为ds旋转一周后的周长；面积公式为：
；2）绕y轴旋转的情形：
面积元素：
，
，
；面积为：
；3）
；
；
；4）如果曲线由参数方程给出：
；
；
；古尔丁定理
体积：
平面上一区域D绕区域外一直线旋转一周的旋转体的体积V等于D的面积与D的形心(质心)所经过的路程的乘积；
表面积：
有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A，等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离。例：设环面圆管半径为r，圆管中心到环面中心距离为R，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为
；