相似矩阵及二次型
向量内积、长度及正交性
注：
，反之当该不等式成立时，x，y一定线性相关；施瓦茨不等式也叫柯西-施瓦茨不等式，写成求和形式为：
(x，y为离散数据)， 积分形式为
(f(x)，g(x)为连续型数据)；
正交的另一种表述：
正交向量组是指一组两两正交的非零向量；
；
，
；示例：
；正交向量组的性质：
注：非零正交组必是无关组，但无关组不一定是正交组；
；
；
；规范正交基的坐标计算公式
基规范正交化
注：e1,e2,e3....er为V的规范正交基；
；
； 
；
；
；
； 
； 正交矩阵的性质
；推论：
；
； 
； 
；方阵的特征值与特征向量
注：上式是以λ为未知数的一元n次方程；特征方程在复数范围内恒有解；特征向量一定是非零向量；
特征多项式：
； 
；
； 
； 
； 
； 
； 
； 
； 
； 
(3)中方阵A有多个特征值，对于每一个特征值λ会有一个特征向量；(3)式中右端的黑体0表示值全为0的列向量；
若pi是矩阵A的对应于特征值λi的特征向量，则kpi(k<>0)也是对应于λi的特征向量；
例：
；几何解释：
，向量(1，1)乘以矩阵A后，(1，1)的方向不改变，模为原来的两倍；
； 
特征值与特征向量的性质
1）
；2）
，即矩阵的全体特征值之和 = 矩阵主对角线元素之和，
，
；3）
，因为
，当特征值的任意一个为0时，矩阵的行列式就等于0，该矩阵就不可逆；
；
；
；
；
；
；性质3的几何意义：
；
； 特征值总结：(左图为总结，右图为总结的例子)
； 特征向量的线性无关性
；
；
；
；
；
；特征值的代数重数与几何重数
；
; 示例：
，
，即
，
；注：示例中的特征值λ对应的几何重数为：n-s=1，即s=n-1，等价于该n-1重根的特征值λ能确定n-1个线性无关的特征向量；
；几种特殊矩阵的特征值与特征向量
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；幂零矩阵示例：
；
；哈密尔顿-凯莱定理(可以用来计算化简矩阵多项式，简化矩阵多项式的计算)
，即任何方阵A，将A代入到其特征多项式后，其结果为零矩阵；相似矩阵及矩阵对角化的条件
定义7的另一种表达：
；定理3的另一种表达：
；
；注：数学里把具有自反性、对称性、传递性这三种性质的关系统称为等价关系
矩阵的相似与等价
1）相似矩阵一定是等价矩阵；
2） 相似矩阵必等秩；
3）两个同阶矩阵等价(即等秩)不能保证它们相似；
相似性的不变性质(注：相似变换能保持矩阵更多的特性，等价变换只能保持矩阵的秩不变)
相似矩阵保持不变的性质：
；注：相似矩阵不能保持矩阵的对称性；相似矩阵有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；
； 注： 1）与零矩阵相似的只有零矩阵；
2）与单位矩阵相似的只有单位矩阵；
3）与数量矩阵kE相似的只有数量矩阵kE本身；
定义7中，把A化成B的变换称为相似变换，P称为这一变换的过度矩阵；
；
；
；相似矩阵的矩阵P为矩阵A的特征向量组成的矩阵，如
，p1，p2，p3为矩阵A的三个特征向量；求可逆矩阵P 使得 P^(-1)AP 为对角形矩阵
1）先求出矩阵的特征值: |A-λE|=0；2）对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as；
3）把所有的特征向量作为列向量构成矩阵P；
则P^(-1)AP 为对角形矩阵. 主对角线上的元素分别对应特征向量的特征值；
幂等矩阵的对角化
；幂等矩阵的性质：
1）幂等阵的特征值只能是0或1；
2）可逆的幂等阵只有E；
3）幂等矩阵一定能对角化；
共轭复数的概念和性质
; 
; 对称矩阵的对角化
定理5 对称矩阵的特征值为实数；
注：实方阵的特征值可以是实数，也可以是复数；
; 非对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量一定线性无关，但不一定正交；
； 
； 
； 
； 
对称阵A对角化的步骤：
对称阵A对角化步骤的另一种表述：
；二次型及其标准型
其中A为对称阵，即
，这个是
这个条件规定的；每个二次型都能写成矩阵的形式；示例：
，其中
；注：对称阵A中，平方项的系数在主对角线，交叉项的系数一分为二；
；根据二次型的矩阵写出函数表达示示例：
；
备注:二次型的标准形的矩阵是对角矩阵；
；注：合同矩阵一定是等价矩阵；因为等价矩阵必等秩，或者说乘以可逆矩阵秩不变，所以合同矩阵必等秩；
合同矩阵的性质：
； 
； 
； 
；配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一种较方便的方法；
正定二次型
惯性定理：
；
；两个n元二次型可以通过可逆变换互变的充分必要条件是它们有相同的秩和正惯性指数，或者说它们有相同的规范形；
； 
； 
；
；
；附录
1）矩阵行列式不等于0时可以得到的结论：
|A|≠0
<=> A可逆 (又非奇异)
<=> 存在同阶方阵B满足 AB = E (或 BA=E)
<=> R(A)=n
<=> A的列(行)向量组线性无关
<=> AX=0 仅有零解
<=> AX=b 有唯一解
<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
<=> A可表示成初等矩阵的乘积
<=> A的等价标准形是单位矩阵
<=> A的行最简形是单位矩阵
<=> A的特征值都不等于0.
<=> A^TA是正定矩阵.