矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
方程组的等价变换用于解线性方程组(比如消元法)；
增广矩阵又称（扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换：
注：将上面定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义；
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
行阶梯形矩阵 B5 还称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0；
行最简形可以通过有限次初等列变换化为标准形(左上角是单位阵，其余元素全为零)；一个矩阵的标准形是唯一的；
B5化为标准形后为：
；注：任何一个矩阵总是可经有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形；行最简形是一个行阶梯形，但行阶梯形未必是行最简形，其区别在于前者的非零行的非零首元必须为1，且该元所在列中其他元均为零，因而该元所在列是一个单位坐标列向量；而后者则无上述要求；
解线性方程组时，可以先写出该方程组的增广矩阵，然后再利用初等变换化成行阶梯形，最后进一步将阶梯形化成行最简形；
初等变换的性质及应用
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同类型的初等变换，即进行了一次初等变换后，再进行一次相同的初等变换后则会还原；
初等矩阵的逆矩阵：
；
；
；注：E(i,j)表示交换单位阵E的i,j两行；
定理1的行等价和列等价的定义在上面；
由单位阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；
矩阵的行等价和列等价的充要条件还可表述为：
；
性质2可以表述为：矩阵A可逆的充分必要条件是A是一些初等矩阵的乘积；反之初等矩阵是可逆的，它们的乘积也是可逆的；
* 用初等变换求可逆矩阵 A 的逆阵，(2)中第一行，B 为 A 的最简形；(2)中第三行，可用于求解矩阵方程 AX = B ( A，B 均为已知矩阵)；求解矩阵方程可以表述为：
；用初等行变换求逆矩阵的方法(增广矩阵法，这是求逆矩阵的最快的方法，且该方法中行合并后的增广矩阵只能做初等行变换，列合并后的增广矩阵则只能做初等列变换
，其中X为BA-1)；
示例：
前三列为矩阵 A；利用初等行变换把 ( A，E ) 化成 ( F，P )，其中 F 为 A 的行最简形；如果 F = E，则 A 可逆，并由 PA = E ,知 P = A-1；
矩阵的秩
矩阵A的2阶子式举例：
，2行2列的子式中的一个为：
；定义 矩阵的 k 阶子式，矩阵 A 的秩定义为 A 中最高阶非零子式的阶数，记作 R(A)；
注：k 阶子式为方阵；k阶子式不等于 0 是指该 k 阶方阵的行列式不等于0；k 行和 k 列取在 m * n 的矩阵任意行和列，可以间断取，如1行，3行，5行，也不需要从头开始，如 3行，4行，8行；
求矩阵m*n的秩时，取的也是k行k列的方阵；
由行列式的性质，A 中所有r+1阶子式全为0时，所有更高阶的子式也全为0；
；行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数，由于两个等价矩阵的秩一定相等，所以矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的秩，即定理2；
； 
求矩阵的秩的方法：用初等行变换将A化为行阶梯形B，则A的秩等于B的非零行的行数；
示例：求矩阵 B 的秩
矩阵 B 的秩 R(B) = 3，且 B 的第一个非零元的3阶子式为；
* 初等变换不改变矩阵的秩；
如矩阵 A 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵。当 A 为方阵时，列满秩矩阵就面为满秩矩阵，也就是可逆矩阵；
设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O；
；即矩阵乘可逆阵，其秩不变；推论：
；矩阵秩的性质
线性方程组的解
如果线性方程组有解，则称它是相容的，如果它无解，则称它不相容；
非齐次线性方程组
此处的n元线性方程组指的是非齐次线性方程组；
注：当线性方程组有无限多解时，该线性方程组才会有通解，且通解中自由变量可以取任意实数；
* 非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变量, 其余变元取作自由变量.
通解示例：
该方程的增广矩阵化成最简形后为：
对应的方程组为：
其中x1,x2为约束变量，x3,x4为自由变量，将自由变量x3,x4设为常数c1,c2后的通解为：
齐次线性方程组
任何齐次线性方程组都不会无解，至少会一个零解；
n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n;
反之，当n个未矢数的齐次线性方程组Ax=0中，系数矩阵的秩R(A)>=n时，就只有零解；
方程的个数小于未知数的个数的齐次线性方程组必有非零解；
重要定理
