矩阵及其运算
矩阵的定义与记号
行矩阵是指只有且只有一行的矩阵，列矩阵是指只有且只有一列的矩阵；
n 阶矩阵(n 阶方阵)是指行数和列数都等于 n 的矩阵；
如果两个矩阵行数和列数均相等时，就称它们是同型矩阵；如果同型矩阵 A，B 每个对应的元素都相等时，就称矩阵 A 和矩阵 B 相等；
每个元素都等于 0 的矩阵称为零矩阵；
从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都等于 1 ，其它元素都等于 0 的矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，单位阵 E 的 i，j 元为
一个主对角线之外的所有元素都为 0 的矩阵称为对角矩阵；(对角矩阵中主对角线上的元素可以是 0 或其它值，零矩阵也是对角矩阵)
对角矩阵记为:
对角矩阵一定是方阵，推论：有主对角线存的一定是方阵；
线性变换
；
，
；当某个矩阵确定了一个线性变换后，任意一组x的向量，将会通过线性变换得到一组y的向量，如上式中
，即将x1=1,x2=2,x3=0代入原方程中，将得到一组y1=7,y2=-1; 矩阵运算
备注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；
矩阵 -A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A + (-A) = O，由此规定矩阵的减法为 A - B = A + (-B) ；
n阶矩阵和n阶方阵是同一个概念；
矩阵的减法是由加法定义的，减法可以看成是矩阵A加上另一个矩阵的负矩阵，即A+(-B)；
矩阵相加和数乘矩阵称为矩阵的线性运算；
此乘积记作 C = AB，注：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘；
矩阵乘法示例：矩阵相乘时，是左矩形的行或列上对应的元素相乘求和
矩阵A与矩阵B相乘的结果矩阵C，C的行数与A相同，C的列数与B相同；
矩阵的运算及运算规律
矩阵的乘法不满足交换律。若方阵 A 与 B 满足 AB = BA，则称方阵 A 与 B 是可交换的。
当 AB = O 时，A 与 B 可以都不是零矩阵；
消去律不成立，即
两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；
线性方程组的矩阵表示
，三个数量等式合并成一个向量等式：
，左端可以写成矩阵的乘积，即：
；一般地，线性方程组
，即
，其中A表示系数矩阵，X表示x1到xn的列向量，b表示右端常数的列向量；线性变换的矩阵表示
，即：
；矩阵的幂
数量矩阵即纯量矩阵；由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：
一些特殊矩阵的n次幂：
；
；平面直角坐标系里函数的旋转变换公式
；一般情况下有：
；空间直角坐标系里函数的旋转变换公式
矩阵转置和对称矩阵
注：
，
；矩阵转置满足：
；对称矩阵的特性：
1）对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2）A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3）对角矩阵都是对称矩阵。
反对称矩阵
，
则：
；方阵的行列式
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记作 |A| 或det A；
；
；注：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是 n^2 个数按一定方式排列成的数表，而 n 阶行列式则是这些数(也就是数表A)按一定运算法则所确定的一个数；
非方阵没有行列式；
方阵 A 的行列式等于其转置 AT 的行列式；
伴随矩阵
；注：求伴随矩阵时，首先先对每个元素求出代数余子式，然后再转置；求代数余子式时，得带上 -1 的 i + j 次方；
；共轭矩阵
逆矩阵
定义 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B ,使 AB = BA = E，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵；记作 A-1；
定理1 若矩阵 A 可逆，则 |A| ≠ 0；
定理2 若 |A| ≠ 0，则矩阵 A 可逆，且
，其中 A* 为矩阵 A 的伴随阵；
当 |A| = 0 时，A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵；矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵；
；求A的逆矩阵时，如果能找一个矩阵B，使得AB=E，则B就是A的逆矩阵；
如：
，所以B就是A的逆矩阵；
；即：
；
；逆矩阵的性质
逆矩阵的前置是方阵；
，
，
，
； 逆矩阵的应用
；
；其中X为方程组的未知数向量，通过求方程组的逆矩阵可以解出方程组，但该方法还是比较繁琐；
矩阵的幂和多项式
；分块矩阵
用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种"操作"称为对矩阵进行分块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上矩阵称为分块矩阵，分块矩阵在运算时，可以把每个小块看做"数"来运算；
分块矩阵的线性运算
；
，其中
，
；
设
；
；
；
，
；克拉默法则用矩阵语言叙述为：
