行列式

二阶和三阶行列式

示例方程：

根据克拉默法则，该线性方程组的解为：

，其中D为，D1，D2，D3为将x1,x2,x3所在的行换成右边的b1,b2,b3后的行列式，即D1为，D2为，D3为；

对角线法则只适用于二阶和三阶行列式；

n阶行列式是数表(n个数，按x行，y列排列而成的一个二维表)按一定运算法则所确定的一个数；

行列式是一个表达式，行列式的值为确定的一个数；行列式的记号既表示行列式，也表示行列式的值；

全排列及逆序数

逆序的概念：如果在自然数的排列中，有一个较大数位于一个较小的数前面，我们就说这两个数产生了一个逆序；

引例：用1，2，3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

注：当逆序数为0时，排列为偶排列；

逆序示例：排列32514的逆序数为t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5;

n阶行列式的定义

n阶行列式的展开式中，对于任意一项，当确定了某一个数时，如上面D中的a11，该项中的其它乘积因子，如a22，只能从a11不在的行和列中选取；

；

*二维数表中，行数和列数相同时，该二维数表才会有行列式；

n阶行列式中，数有n^2个，求和公式中p1,p2......pn为自然数1到n的一个全排列，因此不会有a11*a21*a31.....这样的元素出现；对调二维表中任意两个数，该行列的值也不相同；

几种特殊的行列式

主对角线以下(或以上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式，它的值与对角行列式一样。备注：上下三角形行列式的值是一样的；

下三角行列式说明：下三角行列式中，第一项只能选取不为0的数，即a11，a11确定后，因不能选取a11所在的行和列的数，所以第二项只能选取a22，依此类推，下三角的行列式为：；

D = D1*D2

，

各项乘积因子任意排列，所带正负号取决于行排列和列排列的奇偶性：行标排列和列标排列的奇偶性相同时，该项带正号，否则带负号；

二阶行列式表示三阶行式的一个示例

对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1    一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

定理2的定义是将初始定义的行和列进行了翻转；

示例：，行标和列标的逆序数为，其中行标的逆序数为8(偶排列)，列标的逆序数为5(奇排列)；

对换两a35和a41后(奇)，其中行标的逆序数为9(奇排列)，列标的逆序数为2(偶排列);

总结：行列式中的某一项中，对换任意两个元素后，行标排列和列标排列的奇偶性改变，行标和列标的逆序数之和的奇偶性保持不变；

行列式的性质

如果用定义计算行列式，其计算量十分惊人；例如，10行列式的展开式中有10！=362800项，且每一项目又是10个数的乘积；因此，计算行列式时需要用行列式的性质化简行列式后再进行计算；

，则；因此，行列式中的行与列具有同等的地位；行列式的性质，凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然；

性质2    互换行列式的两行(列)，行列式变号；

注：不能将行列式中的某一行(列)的倍数加到同一行(列)，这样的话会改变行列式；

行列式的计算

行列式的几中行(列)运算：，，；

行列式可以通过一系列的行(列)运算，化为上(下)三角形行列式；

行列式按行(列)展开(用于行列式的计算)

这个定理叫做行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。例如利用引理，可以对行列式进行降阶；

用行列式按行(列)展开法则计算行列式时，应首先利用行列式的运算法则，将某一行(列)的元素化为除某个元素外，该行(列)的其它元素均为0的状态，再进行展开降阶；

示例：；

注意：行列式D中的代数余子式Aij只与aij的位置(i，j)有关，而与D的第i行和第j列的元素的值无关(Aij应该叫做(i，j)代数余子式)，因此改变D的第i行和第j列的元素的值，不会改变代数余子式Aij；

示例：设，则有D下的代数余子式A22=D1下的代数余子式A22；

将以上两个结论统一用以下公式表示：

；

；

即：乘以自己的代数余子式，加起来等于D；乘以别人的代数余子式，加起来等于0；

范德蒙德行列式

如范德蒙德行列式为四阶时，D = ((X2-X1)(X3-X1)(X4-X1))*((X3-X2)(X4-X2))*(X4-X3)

行列式按k行展开

；

当行列式有某几行只有很少的几个非零子式时，可用拉普拉斯定理，按这几行展开行列式；适用的行列式类型有：

；

行列式的翻转与旋转

行列式上下翻转：；

即：；

行列式左右翻转同上下翻转(左右翻转可以看成是行列式转置后的上下翻转)：

即：；

行列式按主对角线或次对角线翻转：，按对角线翻转相当于得到行列式D的转置行列式；

即：=；

逆时针旋转90度：如果D1是n阶行列式D逆时针旋转90度后行列式，则；旋转180相当于旋转两次90度，D1=D；另外，顺时针的情况等同于逆时针的情况；

即：

行列式翻转与旋转的关系

，即；

，即：；

，即：；

，即：；

，即：；

，即：；

克拉默法则

克拉默法则的局限性

1）当系数行列式D=0时，不能用克拉默法则解线性方程组；

2）当未知数的个数与方程的人数不相同时，不能用克拉默法则解线性方程组；

3）当未知数较多时，用克拉默法则解线性方程组的计算量太大。此时，一般用消元法解线性方程组；