定积分
定义
λ→0和划分的小区间总数n→0的区别：n→0时，不能保证每个小区别的长度都趋于0，比如在划分区间时，让其中某一个小区间为定长区间，然后让剩下的空间划分趋于无穷大，此时，结果就有一个固定的误差值，从而得不到精确值；λ→0时则不存在此问题，可以得到精确值；
备注：定积分的求和公式中，f(ε-i)为区间[x-(i-1),x]之间的任意一点，在上式(1)中，计算小矩形面积时，该面积的长为从f(ε-i)开始的直线；
定积分与不定积分的区别及关系
定积分是一个实数，而不定积分则是一个函数集；
连续函数一定有原函数(或不定积分)，且
；定积分模型示例
定理
注：定理1和定理2为定积分存的充分条件，定积分存在的必要条件为函数有界；
定积分的几何意义
由定积分的几何意义得到的一个有用的公式
由其几何意义可得：
定积分的充分条件
定积分没有简单的，有关可积性的充分必要条件；但有充分条件；
1）在闭区间上连续的函数是可积的；
2）在闭区间上有界，且只有有限个间断点的函数是可积的；如下图，该积分可以由三个曲边梯形的面积之和得到；
3）单调有界函数f(x)永远是可积的；
定积分的近似计算
矩形法公式
梯形法公式
抛物线法
梯形法和抛物线法的几何图形(a为梯形法，b为抛物线法)
定积分的计算------牛顿-莱布尼茨公式
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，关且存在原函数F(x),则
定积分计算数列的极限
柯西-施瓦茨不等式
定积分性质
性质6也叫积分估值定理，几何解释为
，即定积分的区域包含了小矩形m(b-a)的面积，大矩形的面积M(b-a)包含了定积分的面积；
积分中值定理的几何解释：
积分区间内总存在某一点ε，使得以ε为高，ab为边长的矩形面积等于定积分的面积，即图形中的浅蓝色区域的面积等于曲边梯形abf(x)的面积；
积分中值定理在开区间上，即ε∈(a,b)时也是成立的；
推广：积分第一中值定理
定积分基本公式
不管函数f(x)是否连续，其积分上限函数总是连续的；
牛顿-莱布尼茨公式
(4)式也可以写成
，该公式揭示了定积分与不定积分(原函数)的联系，是微积分学中最重要的定理，被称为微积分基本定理；(4)式的其它写法：
※牛顿-莱布尼茨公式只能用于函数的连续区间；对于有间断点的函数和分段函数，可以采用分段积分的方法；
求一个函数反函数的定积分时，如下图，可以用矩形OABC的面积减去原函数f(x)的定积分得到；
积分上(下)限函数的导数
积分上限函数
积分下限函数，因
从而得到
积分上限为函数时，积分上限函数的导数可以看成是一个复合函数
；因此有
同理，下限时有
；上下限均为函数时，有
；(备注：可以看成是上限和下限之和)示例：
下题在积分过程中，积分表达式中的x应视为常数！
一般情形：
，在积分时，凡与积分变量t无关的乘积因子都视为常数，可以提到积分号前面；即公式里的g(x);定积分的换元法
换元公式时的注意事项：
上面的换元法相当于不定积分的第二类换元法，当用第一类换元法求定积分时，积分的上限和下限不变；
积分上下限需改变的第二类换元法示例：
代入积分上限得 a=asint，从而得到新的积分上限为t=π/2，代入积分下限得0=asint，从而得到新的积分下限为t=0;
，全部替换后得到
；有用的公式：
有用的公式：
；公式的几何解释：
；
另一个重要的推论
重要公式：
几何解释为
，如下图
周期函数的定积分
，则
积分上限函数和不定积分的奇偶性
一定为偶函数；
一定为奇函数；对于不定积分
偶函数的原函数(不定积分)一般不是奇函数(只有当常数C为0时是奇函数，C不为0时是奇函数加偶函数，为非奇非偶函数)；但奇函数的原函数(不定积分)，则一定是偶函数(偶函数加偶函数还是偶函数);定积分的分部积分
反函数的定积分
移项后的公式
更一般的情形:设函数f(x)在[a,b]上单调，则有
图形为：
反常积分(广义积分)
定积分的两个限制：
1）积分区间是有限的区间：[a,b];
2）被积函数f(x)在区间[a,b]内是有界函数；
取消这两个限制后，就得到两种反常积分；
如果以上极限存在，则称反常积分收敛，其极限值为反常积分的积分值；如果以上极限不存在，则称反常积分发散；
如果到+∞和-∞的反常积分都存在，则有
；到+∞和-∞的反常积分时，如果有一个发散，则总体发散；如果两个都收敛，则总体收敛；(※发散时，极限不一定是趋于无穷大的，极限不存在时也是发散的)
一个重要的反常积分：
一般性推广：
；其它重要反常积分：
无界函数的反常积分
,图形为：
；
瑕积分两边都收敛时的图形为：
；瑕积分示例：
，注：和不定积分不同，当x→a时，该函数值趋向于无穷大，函数是发散的；该示例的另一种简便解法：
，先求不定积分，再用牛顿-莱布尼茨公式求解；一些重要的无界函数的反常积分：
