不定积分

1. 原函数与不定积分的概念

   
   

   

   原函数并不唯一，，但函数f(x)的所有原函数中任意两个原函数之间都只相差一个常数；

   证明过程：设G(x),F(x)为函数f(x)的两个原函数，

   由拉格朗日中值定理的推论得(在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数)即
   

   

   

   函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线；显然，求不定积分得到一积分曲线族；

   不定积分的基本性质(微分运算与求不定积分的运算是互逆的，但先微分再积分时会多出一个常数)

   

   
   

2. 基本积分表

   当u=x+C时，d(u) = d(x);如u=x+1或u=x-1时，d(u)=d(x);

   
   

   

   

   

   

   

   

   其它积分公式:

   

   

   

   

3. 积分的结果都可以通过导数或微分来验算；
   

4. 不定积分的性质

   

   性质1对于有限个函数都是成立的；

   
   

5. 换元积分法

   第一类换元法(凑微分法)
   

   

   推论：

   

   

   常见凑微分类型

   

   

  其它凑微分公式：

      第一类换元法还可以将乘积化成多项式的形式，如三角函数的积化和差公式，然后分别求积分；

  第二类换元法(第二类换元法求完后还需将换元函数的的反函数代入)

  上式(2)的等价写法：

常见第二类换元积分的类型

1）有理代换

例：求积分

替换后得到

积分后得：

将u代回后得到最终结果：

一般形式

当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可令，其中n为各根指数的最小公倍数；

2）三角代换

利用三角函数去掉根号，常见代换为：

三角代换后求出的积分，回代时需用勾股定理，如√x^2+a^2可以看成是走直角三角形的斜边，两直角边则为a和x，从而得到a和x之间的等式；

3）双曲代换

4）倒数代换

当分母的次幂较高时，可采用倒数代换，令x=1/t;

1. 分部积分法

   

   选取u及v'的一般方法，把被积函数视为两个函数之积，按"反对幂指三"的顺序，前者为u后者为v';

   1）若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u，使其降幂一次(假定幂指数是正整数);

   常见形式：

   分部积分的列表法(适用于高次多项式的高次幂和三角函数的乘积的积分)：

   

   

   2）若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑对数函数或反三角函数为u;

   常见形式：     

                     

2. 多项式的长除法

   假分式可以通过长除法化为多项式与真分式的和，例如：
   

   
   

   

3. 真分式的分解

   真分式，其中n<m

   可以分解成以下分式：，部分分式也叫最简分式；

   例：

   

   

   
   

4. 有理函数的积分

   
   

   

   将有理函数化为部分分式之和后，只会出现三类情况：

   

   其中：

   

   (3)式的积分情况比较复杂，要视具体情况而定；

   结论：有理函数的原函数都是初等函数；
   

5.