导数与微分

导数的定义

导数另一种形式(函数形式，上面的定义为增量形式，dy/dx看成一个整体也可表示导数---※dy/dx表示y对x求导):

常数的导数等于0(常数在自变量变化的过程中，变化率为0)；当x→∞时，就表明原函数在这一点的切线垂直于x轴。

在某些情况下用定义求导可以简化方程，

※因导数是函数自变量x的极限，因此像瞬时速度就可以用行使的路程和使用的时间的函数的导数表示；

导数定义的推论：

切线方程和法线方程

求某个曲线在(x0,y0)处的切线方程和法线方程时(如y=e^x)，要先求出切线在该点的斜率(k=y`(1)=e)，再求出法线的斜率(m=-1/k=-1/e)，再将求出来值代入上面公式；

如果函数f(x)在点x数可导，则函数在该点处必定连续；一个函数在某点连续时，不一定在该点可导(函数不连续时，则一定不可导)；

导数公式

常用导数：

求导法则

(2)式推广到多个函数时的求导法则为(该式也称为导数的线性性质，极限也具有该性质)：

展开为：

(3)式推广到多个函数时的求导法则为：

展开为：

反函数的求导的另一种写法:

有限个复合函数求导的法则类似，例如三个复合函数的求导法则为：

双曲函数和反双曲函数的导数公式

双曲函数和反双曲函数为：(sh x为双曲正弦，ch x为双曲余弦，th x为双曲正切)

导数(导函数)和原函数的奇偶性

奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数；

周期函数的导数仍是周期函数；

高阶导数求法(0阶导数为不求导的原函数)

幂函数的n阶导数，函数为x的u次方

高阶导数的线性性质

莱布尼茨公式

莱布尼茨公式展开后为：

使用莱布尼茨公式时，应选取导数随着阶数增大而逐渐变成0的项为u(如x^3);

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。一个方程在不同定义域内可能对应多个单值函数；每一个显函数都可以写成隐函数的形式，但隐函数大多数情况并不能写成显函数的形式；

隐函数的导数

隐函数求导时，y可以看成是一个由y=f(x)复合函数，因此求导时，需要用复合函数的求导法则，如y^5 = 5y^4.y' ；碰到xy的情况时，则要用乘积的求导法则；

隐函数求导后，因变量(比如y)的导数通常会含有自变量和因变量，如x^2+y^2=1该函数y对x求导后，y的导数为y`=-x/y;求y`(x0)时，先将x0代入原方程求出y0，然后将x0和y0代入导函数中求值该点的导数值；

幂指函数求导：(对数求导法)

幂指函数的求导(指数求导法):

对于乘积因子较多的函数求导时，可以用对数求导法，即函数两边同时取对数，然后用隐函数的方法求导；(对数可以化积为和、化商为差、化幂为系数)

参数方程在平面可以绘制出很复杂的图形，例如：

该参数方程的图形为：

每个显函数都可以写成参数方程，但参数方程往往一个x会对应多个y值(如上图)，因此没办法整体用一般函数来描述，但在曲线上的某一点可以求出导数，切线方程和法线方程；

参数方程为x=x(t);y=y(t)的切线方程和法线方程如下：

参数方程所确定的函数的导数

y对x的导数为：

y对x的二阶导数为：

另一种写法：

y对x的三阶导数为：

微分

dy和A△x称为微分的线性主部；

△x就是dx，△y则不是dy，△y是函数本身的增量，而dy是切线函数的增量；

△y和dy的差是△x的高阶无穷小，因此可以近似的把dy看成是△y，即△y≈dy；

可微和可导的关系

导数就是微分之商(y的微分dy和x的微分dx之商)，简称微商；

函数可微、可导、连续和有极限的关系

基本初等函数的微分公式

函数和、差、积、商的微分法则

复合函数的微分法则

微分在近似计算中的作用

常有的近似公式

误差估计