数学
上一次修改时间：2017-07-09 13:02:19

函数与极限

  1. 初等函数

    QQ图片20160418151308.png

    分段函数一般不是初等函数，因为它不能用一个式子表示；例如：绝对值函数可以写成分段函数，但也能写成根号下x的平方的形式，因此，绝对值函数是初等函数；

    上述五类初等函数中，指数函数和对数函数，三角函数和反三角函数均互为反函数；幂函数的反函数还是幂函数；

    函数和映射的区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象；函数要求每个值域都有相应的定义域，也就是说，值域这个集合不能有剩余的元素，而构成映射的像的集合是可以有剩余的；

    单调函数一定是单映射，所以一定有反函数(反函数的存在条件就是该函数是一个单映射)，且该反函数也一定是单调函数；,

    当一个函数的定义域中有两个值x1,x2(x1不等于x2)对应的值y1=y2,,则该函数没有反函数；(不是单射)

    外函数有界，复合函数必有界；

    image.png；

  2. 极限定义

    QQ图片20160418152029.png

    定义中正整数N是任意的，当N取1时，n从2开始不等式成立，当N取100时，n从101开始不等式成立，从结果上都是对的，但一般要找到一个尽量小的N时过程会比较复杂，相对的，找到一个相对较大的N时则会比较容易；(让不等式小于一个另外一个去掉常数后化简的不等式------适当放大法)

    常数的极限存在且等于它自己；

  3. 收敛数列的性质

    QQ图片20160418152747.png

    QQ图片20160418153101.png

    QQ图片20160418153224.png

    QQ图片20160418153325.png

    推论1：无界数列必发散；(有界数列不一定收敛，有界数列单调时则一定收敛)

    推论2：如果数列有一个子数列发散，则该数列一定发散；

    推论3：如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，则该数列发散；

    推论4：如果一个数列的奇次项子数列和偶次项子数列都收敛于同一极限，则该数列也收敛于同一极限；

    常数数列{an}在严格的定义下没有单调性；(前一项即不大于也不小于后一项)

    数列的极限可以看成是函数的极限在自变量x->∞时，x∈R变成x∈N的特殊情形；

  4. 自变量趋于有限值时函数的极限

    QQ图片20160418154013.png

    不管函数在一个点是否有定义，我们都可以讨论函数在该点的极限；

    函数f(x)趋向于x0时的极限值与函数值f(x0)无关，也不一定相等；

    函数f(x)趋向于x0时，如果左极限不存在，或右极限不存在，或左右极限不相等时，则f(x)趋向于x0的极限不存在；(当x趋向于无穷大时也成立)

  5. 自变量趋于无穷大时函数的极限

    QQ图片20160418154318.png

    e^x当x趋向于无穷大时，极限不存在；(左极限等于0，右极限为正无穷大)

  6. 函数极限的性质

    QQ图片20160418154604.png

    QQ图片20160418155047.png

    QQ图片20160418155201.png

    QQ图片20160418155317.png

    QQ图片20160418155441.png

    定理4可以用数列来证明函数的极限不存在；

    例：Dirichlet函数处处无极限；当该函数趋于某个值a时，总能找到一个有理数列且其极限为1，也总能找到一个无理数列且其极限为0，所以该函数处处无极限；(Dirichlet函数为当x为有理数时，函数值为1，x为无理数时，函数值为0------函数值1和0可以任意取，但两者不能同时取同一个值)

  7. 无穷小

    无穷小和无穷大是一个函数或变量；无穷小量是一个趋近于0的数列，它的极限等于0；

    0是唯一的无穷小常数，无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷小；

    QQ图片20160419103124.png

    QQ图片20160419103234.png

  8. 无穷大

    QQ图片20160419103616.png

    QQ图片20160419103708.png

    无穷大和无穷小有倒数关系；

    无穷大一定是无界函数，无界函数不一定是无穷大；

  9. 极限运算法则

    定理1 有限个无穷小的和也是无穷小；

    定理2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小；

    QQ图片20160419104845.png

    极限运算的前提是参与运算的两个函数的极限都存在；

    两个无穷大的和不一定是无穷大，例如一个无穷大为正穷大，另一个无穷大为负无穷大时，这两个无穷大的和总是为0；

    两个穷大的积则一定是无穷大；

    无穷大与有界函数的和也是穷大；

    无穷大与有界函数的乘积则不一定是无穷大；

    无穷大与无穷小的乘积需要看具体情况，各种可能都存在，是一个未定式；

    若lim f(x)=A≠0 lim g(x)=0，则lim (f(x)/g(x)) = ∞;反之，如果lim (f(x)/g(x))的极限存在，且lim g(x)=0，则lim f(x)也一定等于0；

    求多项式的商当x→∞的极限时(如f(x)=ax^m+bx^m-1/c^n+d^n-3)，if(m==n) lim f(x)=a/c，if(m<n) lim f(x)=0,if(m>n) lim f(x)=∞;

  10. QQ图片20160419105257.png

    QQ图片20160419105516.png

    QQ图片20160419105614.png

    QQ图片20160419105812.png

  11. 函数渐近线

    当x→∞时，如果函数y=f(x)的极限存在且等于A，则y=A是f(x)的水平渐近线(有水平渐近线时斜渐近线是不存在的，如果都存在时，x的趋向一定不同)；

    当x→x0时，如果函数y=f(x)的极限存在且等于∞，则x=x0是f(x)的铅直渐近线；

  12. 极限运算说明

    求有理数函数（多项式）或有理分式函数当自变量x->x0的极限时，只要把x0代替函数中的x就行了；但对于有理分式函数，这样代入后如果分母等于零，则没有意义；

    求自变量x->∞时的极限，lim 1/x的极限为0；

    QQ图片20160419115906.png

  13. 极限存在准则

    QQ图片20160419110322.png

    QQ图片20160419110504.png

    夹逼准则常用来求极限的形式：

    |f(x)|≤g(x) 且 lim g(x)=0 则有 lim f(x)=0;(注：|f(x)|≤g(x)此条件中，g(x)可以是f(x)的适当放大后的函数，也可以是f(x)的等价函数)

    |sinx|≤|x|此不等式可以和夹逼准则一起求某些三角函数的极限；

    准则2 单调有限函数必有极限

    QQ图片20160419110847.png

    QQ图片20160419110926.png

    QQ图片20160419111035.png

    确界的存在公理：有上界的实数集必有上确界(最小上界);有下界的实数集必有下确界(最大下界);

  14. 两个重要的极限

    QQ图片20160419121307.png

    QQ图片20160419121553.png

    第一个重要极限说明当x→0时，sinx≈x;另外当x→0时，lim arcsinx/x=1,lim arctanx/x=1;

    第一个重要极限等价于当x→∞时，lim (sin1/x) / (1/x);(注：当x→∞时，1/x趋向0)

    第一个重要极限当x→∞时,lim sinx/x=lim 1/x*sinx=0;(1/x的极限是无穷小，sinx为有界函数，无穷小和有界函数的乘积为0)

    第二个重要极限的等价形式：x→0时，lim (1+x)^(1/x)=e;(注：第二个重要极限里的n可以理解成无穷小)

    第二个重要极限的推论：

    1）x→∞时，lim (1+k/x)^x=e^k;当x→0时，lim (1+kx)^1/x=e^k;

    2）x→∞时，lim (x+a/x+b)^x=e^a/e^b=e^(a-b);

    (x->0)lim (tanx/x) = lim (sinx/cosx)/x = lim (sinx/x)*(1/cosx) = 1; lim(sinx/x) = 1, lim(1/cosx) = 1;

    推论：(x->0)lim(x/tanx) = 1;    lim(x/sinx) = 1; lim(cosx) = 1;

    (x->0) x/sinx = 1;

    当x趋于正无穷时(1-1/x)^x的极限是1/e;

    limx→0,(1+x)^1/x=e;

    QQ图片20160811175746.png

    QQ图片20160812145955.png

    QQ图片20160814232346.png

    图片.png图片.png

  15. 无穷小的比较

    QQ图片20160812155358.png

    QQ图片20160419111434.png

    同阶无穷小可能将两边同时除以常数c，从而转换成等价无穷小；

    并不是所有的无穷小都可以比较，两个无穷小的商的极限有可能并不存在；

    重要的等价无穷小：条件都为x→0，1-cosx~x^2/2;    n^√(1+x)~x/n;    sinx~x;    arctanx~x;    tanx~x;    arctanx~x;    ln(1+x)~x;    e^x-1~x;    tanx-sinx~x^3/2;(注：替换时，x为1/x,x^2,2x时都成立，且替换时只能在乘积因子之间进行，不能在加减因子之间进行，如tanx-sinx时就不能替换，需化简成sinx(1-cosx)*1/cosx的形式再进行替换)

    无穷小的等价关系(同阶关系)具有以下性质：

    1）自反性    a~a;

    2）对称性    a~b → b~a;

    3）传递性    a~b b~c →a~c;

    QQ图片20160419112300.png

    QQ图片20160419112427.png

    QQ图片20160812162507.png

  16. 无穷小的加减运算

    高阶无穷小+(或-)低阶无穷小的值是低阶无穷小；图片.png

  17. 函数的连续性

    QQ图片20160425144528.png

    QQ图片20160425144643.png

    可去间断点可以通过分段函数补充函数定义的方法来使函数连续；

    函数的一个间断点里，左右极限里只要有一个等于∞，这个间断点就是无穷间断点；

  18. 连续函数的运算与初等函数的连续性

    QQ图片20160425145150.png

    QQ图片20160425145354.png

    QQ图片20160425145531.png

    QQ图片20160425145635.png

    基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；连续函数在x0处的极限就是该函数在x0处的函数值；

    一切初等函数在其定义区间内都是连续的；

    复合函数中，若内函数和外函数都连续，则复合函数一定连续；

    极限运算lim与连续函数运算可以交换，极限可以穿过连续函数取到内函数上面，定理3也可以写成，当x→x0时，lim f[g(x)] = f[lim g(x)];(注：只需外函数连续，内函数如果不连续也可将求极限的符号换到内函数上，另外，当外函数连续，x→∞时，也可以将外函数的求极限符号换到内函数上)

    ※ 当函数连续时，求x→x0时的极限时，只需要将x0代入函数后求函数值，不连续时则可以利用等价无穷小来求；

    QQ图片20160425160131.png

    对数函数的重要极限：x→0时，lim (loga(1+x))/x=1/lna;    lim (ln(1+x))/x=1;    lim (e^x-1)/x=1;

    幂函数的重要极限：设lim u(x)=a>0,lim v(x)=b,则lim u(x)^v(x)=a^b;

    图片.png

    图片.png

    图片.png

  19. 闭区间上连续函数的性质

    QQ图片20160425150221.png

    在开区间上该定理是不成立的，开区间上，最大值(最小值)将无限趋近于上界(下界)，因而不存在最大值(最小值);

    QQ图片20160425150440.png

    QQ图片20160425150548.png

    C界于函数的最大值和最小值之间；

    QQ图片20160425151040.png

    根据零点定理，可以推导出某函数的极限在某个区间内有解；

    QQ图片20160425151519.png

    定理4(一致连续性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续；